어파인 공간 (Affine Space)

멀티플뷰 지오메트리에서도 나왔었고, BazAR를 하면서도 나왔었지만

사실 두리뭉실하게 알고 있는것이 전부였던 어파인 공간.

 

두리뭉실하니까 좀 더 알아보자

 

 

1. 어파인 공간

 

벡터공간에서는 벡터가 어디에 위치해 있던지 크기와 방향만 같다면 모두 같은 벡터로 취급한다. 따라서, 벡터 공간에서는 위의 여러 벡터가 엄연히 다른 벡터임에도 불구하고 같은 벡터로 취급될 것이다. 결국 벡터 공간에서는 위치를 중시하는 기하학을 표현하기에 무리가 있다.

 

이를 극복하고자 고안된 것이 바로 어파인 공간.

어파인 공간에서는 벡터에 위치표현을 위한 점을 추가하여 해당 벡터의 크기, 방향 뿐만 아니라 위치까지도 표현할 수 있게 된다.

벡터공간 + 위치

 

 

2. 어파인 공간 상의 연산

 

 - 벡터와 벡터 사이의 덧셈 / 뺄셈 = 벡터 생성

 - 스칼라와 벡터의 곱셈 / 나눗셈 = 벡터 생성

 - 벡터와 점의 덧셈 / 뺄셈 = 점 생성

 - 점과 점의 뺄셈 = 벡터 생성

어파인공간에서 점과 점의 덧셈은 허용되지 않는다.

 

첫번째와 두번째 연산은 기존의 벡터 공간에서도 가능했던 연산이고 세번째와 네번째 연산이 추가된 것이다. 특히 벡터와 점을 더하면 어떤 점의 위치를 표시할 수 있다.

 

 

3. 예

 

아래의 그림을 보자

 

어파인 공간에서 점 A는 원점에서 점 B로 가는 벡터로 취급될 수 있다.

여기서 원점은 임의의 위치 어디라도 설정할 수 있다.

마찬가지로 위 그림의 선분 AB상의 점 C 역시 주어진 원점에서 점 V로 가는 벡터로 표시할 수 있다.

 

그래서, 점 C를 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.

 

C = A + 0.5 * (B - A)

 

여기서 점 A와 C는 점을, (B-A)는 벡터를 나타내므로, 벡터와 점의 합이 점을 나타냄을 알 수 있다.

또한 점 C가 선분 위의 중앙이 아닌 다른 곳에 위치한다고 하더라도 아래의 식과 같이 표현될 수 있다.

 

C = A + k(B - A)          (0 <= k <= 1)

   = (1 - k)A + kB

 

이 식은 임의의 두 점 A, B가 이루는 선분 위의 임의의 점 C를 표현해주는 식으로 k = 1이면 C = B, k = 0이면 C = A가 된다.

이 식은 y = ax + b의 표현과 달리 선분의 양 끝점을 정의해 줄 수 있기 때문에 다양한 응용프로그램에서 사용된다.

 

그런데 여기서 한가지 이상한 점이 있다, 바로 C가 (1 - k)A와 kB의 합, 즉 점과 점의 합으로 표현되어 있다는 점이다. 이는 점과 점의 덧셈은 정의되지 않는다던 2절의 연산정의와 상반된 것이다.

 

어파인 공간에서 점의 덧셈은 각 점들 앞의 계수의 합이 1일 때에만 허용되고 그 의미를 갖는데, 이처럼 계수의 합이 1이 되는 경우를 어파인 합(Affine Sum)이라 한다.

 

 

4. Homogeneous Coordinates (동차좌표)

 

그러면 어떻게 점과 벡터를 구분해야 할까? 이를 위해 고안된 것이 바로 동차좌표이다.

동차좌표는 원래 데이터의 차원을 한차원 높여 줌으로써 점과 벡터를 구분할 수 있게 해준다.

 

가령, 2차원의 데이터 V = (V1, V2)가 있다고 하자.

그러면 이 데이터의 동차 좌표는 V' = (V1, V2, p)가 되며, p가 0이면 벡터를, p가 0이 아니면 점을 의미하게 된다.

 

예를 들어, V' = (V1, V2, 1)이면 점의 좌표를, V' = (V1, V2, 0)이면 벡터를 나타내게 된다는 것이다. 한편 동차 좌표계에서 다음과 같은 점들은 모두 같은 점을 나타낸다.

 

(5, 1, 1) = (10, 2, 2) = (15, 3, 3) = (20, 4, 4)

 

이러한 동일한 점들의 실제 좌표는 p가 1인 (5, 1, 1)로 정의한다.