탄젠트 공간 (Tangent Plane)

1. 탄젠트 공간 (Tangent Space)

 

  지구본이 있다고 하자, 이걸 쫙 펼쳐 지도를 만들었다고 하자, 그런데 다시 지구본이 필요해서 지도를 다시 지구본으로 만들어야 한다고 했을 때, 어떻게 하면 지구본을 다시 만들 수 있을까? 쉬워보이지만 그런 단순한 문제는 아니다.

 

완벽하게 맞춰진 예는 아니지만 탄젠트 공간이 필요한 이유를 가장 잘 설명해주고있다.

만약 우리가 어떠한 3차원 물체를 2차원 평면으로 만들었다면, 우리는 이 2차원 평면을 바탕으로 3차원의 물체를 절대로 만들 수 없다.

하지만, 3차원 물체를 2차원 평면으로 변환할 때, 2차원 평면의 각 점에 그것이 3차원에서 가졌던 어떠한 정보를 저장해두었다면 어때,, 이렇게되면 우리는 어떻게든 2차원 평면을 다시 3차원 물체로 복원할 수 있게 될 것이다.

 

여기서 말하는 어떠한 정보가 바로 탄젠트 공간이다.

 

 

2, 탄젠트 공간의 정의

 

3차원 공간의 탄젠트 공간은 다음의 세 벡터를 축으로 하는 공간이다.

 

1) 한 점의 법선 벡터

2) 한 점의 접선(탄젠트) 벡터

3) 바이노멀 벡터 : 법선 벡터와 접선 벡터를 외적하면 구할 수 있는 벡터

 

일반적으로 탄젠트 공간은 원래의 공간과 같은 차원을 가지며, 한 점에서 생성 가능한 모든 접선 벡터를 포함한다.

위 그림의 경우엔 접선 벡터와 바이노멀 벡터가 생성하는 평면은 가능한 모든 접선 벡터를 포함한다.

주의할 점은 Tangent space의 개념은 비단 3차원 공간만이 아닌 임의의 차원의 공간에 대해서도 적용할 수 있다는 점이다.

 

 

3. 탄젠트 번들

 

또한 모든 탄젠트 공간들은 두배의 차원을 갖는 새로운 공간을 생성하기 위해 서로 붙여질 수 있는데, 이를 가능하게 하는 것이 바로 Tangent bundle의 개념이다.

이에 대한 개념은 형태학 및 manifold등의 개념을 이해해야해서 여기서는 생략

 

 

4. 왜 하필 탄젠트냐, 코사인도아니고 사인도아니고

 

한 점의 기울기를 가장 직관적으로 구할 수 있는게 탄젠트이기 때문이다.

 

우리가 한 점의 기울기를 구해야 한다고 하자, 우리는 일반적으로 먼저 한 점의 접선을 빗변으로 하는 직각삼각형을 생성하여야하고, 그 직각삼각형의 '높이/빗변'으로 기울기를 구해주게 된다.

그런데, 이 기울기는 바로 직각삼각형의 빗변에 대응하는 각도의 탄젠트 값이다.

즉, 탄젠트(빗변의 대응각)가 곧 기울기라는 말이다.

때문에, 한 점의 기울기가 탄젠트라 불리기도 하는 것이다.