역행렬

1. 역행렬의 정의

  - 역행렬 성질이 가장 중요해 3번 꼭보자

 

고1 수학에서는 역행렬을 아래와 같이 정의한다.

 

'n차 정사각행렬 A와 E에 대하여 AX = XA = E인 X가 존재하면 X를 A의 역행렬이라 한다.'

 - E : 단위행렬

이 때 X = A^-1로 나타내며, 특히 n = 2인 경우, 즉 2차 정사각행렬의 경우 행렬 A와 역행렬 A^-1은 아래의 관계를 가진다.

n차 정새각행렬 A의 역행렬이 존재하면 그 역행렬은 유일하다.

 

'(n차 정사각행렬에 대해) AX = E 이면, XA = E 이다.'

 

이게 성립한다. 왜냐하면 AX = E가 되는 X는 A의 역행렬로 오직 하나만 존재하며, 정의상 A역시 X의 역행렬로 볼 수 있기 때문에, 순서를 바꿔 연산한 XA의 결과 역시 단위행렬 E로 나와야 한다.

 

 

2. 증명

 

선형사상과 행렬은 서로 동일하고, 선형사상의 역 사상들은 전단사(1:1대응)이므로 역 사상에 해당하는 역행렬 역시 교환법칙이 성립한다.

 - f * g = l 이면, g * f = l 이고, 이를 행렬에서는 AX = E이면,

 

잠깐 우리 전사, 단사, 전단사 함수를 그림으로 짧게 보고 가자

 

ㅇㅋ

 

아직 내게 선형대수학은 어려우니까 직관적인 증명을 해보자

공부해야지 공부

 

LA = E, AR = E인 행렬 L과 R을 생각해보자. (L = Left, R = Right)

(위 전개 과정에서 세 번째 등호는 행렬의 곱셈의 결합법칙이 성립함을 의미한다)

다시말해 요게 정확한 증명은 아닌데 그냥 좀 이해하기 쉽게 풀어놓은것이다, 그렇타고 틀렸다고도 못하는건

LA = E이고 AR = E이면 L = R이다를 증명했다고해서 XA = E이면 AX = E이다를 확실하게 증명한게 아니기 때문이다.

더 깊은 내용은 선형대수학을 보자

 

 

3. 역행렬의 성질

 - 이게 제일 중요해, 어떠한 명제에는 항상 이유가 있는것이다.

 

 이것이 바로 역행렬의 다섯가지 성질

 

하나씩 풀어보자

 

 

이 두가지를 같이 쓴 이유는 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로, 순서대로 곱해줘야한다를 명시해 주기 위해서다.

 - 역행렬, 단위행렬을 곱할때는 교환법칙이 성립한다.